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【干貨】高中數(shù)學(xué)怎樣求內(nèi)切球的半徑？

瀏覽次數(shù)： 發(fā)布日期： 2024-10-28 18:26:24

內(nèi)切球半徑公式

初中所學(xué)習(xí)的三角形內(nèi)切圓半徑公式，其推導(dǎo)過(guò)程是利用等面積法。

類比等面積法我們?nèi)菀茁?lián)想到等體積法，既而推導(dǎo)出三棱錐的內(nèi)切球半徑公式：

1、直角三角形的內(nèi)切圓的半徑

如圖所示，設(shè)一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)為a,b，斜邊的長(zhǎng)為，則其內(nèi)切圓半徑

或

（由可推出）

特別當(dāng)a=b=1時(shí)，

。

2、直角四面體（從某一頂點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體）的內(nèi)切球的半徑

設(shè)OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=a，OB=b，OC=c，則

。

設(shè)直角四面體內(nèi)切球半徑為r，、△OBC、△OCA、△ABC的面積分別為，，，S，則

，，，

。

又

，

所以，

即內(nèi)切球半徑

。

特別當(dāng)a=b=c=1時(shí)，

。

3、正三棱錐的內(nèi)切球的半徑

正三棱錐的定義.

1.底面是正三角形

2.頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心.

滿足以上兩條的三棱錐是正三棱錐.

由以上定義可知，正三棱錐底面為正三角形，三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形.

要防止和另外一個(gè)概念--正四面體混淆.

每個(gè)面都是正三角形的四面體才是正四面體.也可以這樣說(shuō)，正四面體是特殊的正三棱錐，正三棱錐具備的性質(zhì)正四面體都有，而正四面體具備的性質(zhì)正三棱錐不一定有.

利用正三棱錐的特點(diǎn)，挖掘其內(nèi)在結(jié)構(gòu)，利用相似三角形求得內(nèi)切球半徑.

等體積法是求解內(nèi)切球問(wèn)題的基本方法，其最大的優(yōu)點(diǎn)在于無(wú)需尋找球心的具體位置，也不需要挖掘所給幾何體的在幾何特征，只要理解等體積法求內(nèi)切球半徑的原理，在此基礎(chǔ)上找到相對(duì)應(yīng)的量進(jìn)行帶入計(jì)算即可.